Hình chiếu trong toán học là gì?

VD về bài toán:Trong tam giác ABC có M thuộc AC. Vẽ hình chiếu của M trên BC

Lời giải:Hình chiếu của M trên BC nghĩa là từ M kẻ đường thắng cắt vuông góc với BC

còn hình chiếu của một điểm là giao điểm của đường thẳng cho trước với đường thẳng kẻ từ điểm đó vuông góc với đường thẳng cho trước.

2. Tam giác hình chiếu là gì?

Trong hình học, tam giác hình chiếu hay còn gọi là tam giác bàn đạp của một điểm P đối với tam giác cho trước có ba đỉnh là hình chiếu của P lên ba cạnh tam giác đó.

Xét tam giác ABC, một điểm P trên mặt phẳng không trùng với ba đỉnh A, B, C. Gọi các giao điểm của ba đường thẳng qua P kẻ vuông góc với điểm ba cạnh tam giác BC,CA,AB là L, M, N khi đó LMN là tam giác bàn đạp ứng với điểm P của tam giác ABC. Ứng với mỗi điểm P ta có một tam giác bàn đạp khác nhau, một số ví dụ:

• Nếu P = trực tâm, khi đó LMN = Tam giác orthic.
• Nếu P = tâm nội tiếp, khi đó LMN = Tam giác tiếp xúc trong.
• Nếu P = tâm ngoại tiếp, khi đó LMN = Tam giác trung bình.

P nằm trên đường tròn ngoại tiếp, tam giác bàn đạp sẽ suy biến thành một đường thẳng.
Khi P nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì tam giác bàn đạp của nó suy biến thành đường thẳng Simson,
đường thẳng này đặt tên theo nhà toán học Robert Simson.
Định lý Cartnot về ba đường thẳng vuông góc với ba cạnh tam giác đồng quy ta có hệ thức sau:

3. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu

Cho điểm A nằm ngoài đường thẳng d, kẻ một đường thẳng vuông góc với đường thẳng d tại H. trên d lấy điểm B không trùng với H. khi đó :

• Đoạn thẳng AH : gọi là đoạn vuông góc hay đường vuông góc kẻ từ A đến đường thẳng d.
• Điểm H : gọi là chân của  đường vuông góc hay hình chiếu của điểm A trên đường thẳng d.
• Đoạn thẳng AB : gọi là đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.
• Đoạn thẳng HB : gọi là hình chiếu của đường xiên AB trên đường thẳng d.

Định lí 1 :

Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.

Định lí 2 :

Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó :

• đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn.
• đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn.
• Hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau, ngược lại, Hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau.