Bài toán: Một hình lập phương có thể tích là 27 cm³. Hãy xác định các thông số hình học của nó.
Lời giải chi tiết:
1. Xác định độ dài cạnh của hình lập phương:
Thể tích (V) của một hình lập phương được tính bằng cách lấy độ dài cạnh (a) của nó nhân với chính nó ba lần (lập phương cạnh đó). Công thức là: $V = a^3$.
Theo đề bài, chúng ta biết thể tích $V = 27 \text{ cm}^3$.
Do đó, ta có phương trình: $a^3 = 27 \text{ cm}^3$.
Để tìm ‘a’, chúng ta cần tìm một số mà khi nhân với chính nó ba lần thì bằng 27. Nói cách khác, chúng ta cần tìm căn bậc ba của 27.
Ta có thể nhẩm thấy:
$1 \times 1 \times 1 = 1$
$2 \times 2 \times 2 = 8$
$3 \times 3 \times 3 = 27$
Hoặc sử dụng ký hiệu căn bậc ba: $a = \sqrt[3]{27} = 3 \text{ cm}$.
Vậy, độ dài cạnh của hình lập phương là 3 cm.
2. Tính diện tích một mặt của hình lập phương:
Mỗi mặt của hình lập phương là một hình vuông có cạnh bằng độ dài cạnh của hình lập phương (‘a’).
Diện tích một mặt ($S_{\text{mặt}}$) được tính bằng công thức diện tích hình vuông: $S_{\text{mặt}} = a^2$.
Với $a = 3 \text{ cm}$:
$S_{\text{mặt}} = 3^2 = 3 \times 3 = 9 \text{ cm}^2$.
Vậy, diện tích một mặt của hình lập phương là 9 cm².
3. Tính chu vi một mặt của hình lập phương:
Chu vi một mặt ($P_{\text{mặt}}$) của hình lập phương chính là chu vi của một hình vuông có cạnh ‘a’.
Công thức tính chu vi hình vuông: $P_{\text{mặt}} = 4 \times a$.
Với $a = 3 \text{ cm}$:
$P_{\text{mặt}} = 4 \times 3 = 12 \text{ cm}$.
Vậy, chu vi một mặt của hình lập phương là 12 cm.
4. Tính diện tích xung quanh của hình lập phương:
Diện tích xung quanh ($S_{\text{xq}}$) của hình lập phương là tổng diện tích của bốn mặt bên. Mỗi mặt bên là một hình vuông có diện tích $a^2$.
Công thức tính diện tích xung quanh: $S_{\text{xq}} = 4 \times a^2$ (hoặc $S_{\text{xq}} = 4 \times S_{\text{mặt}}$).
Với $a = 3 \text{ cm}$:
$S_{\text{xq}} = 4 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36 \text{ cm}^2$.
Vậy, diện tích xung quanh của hình lập phương là 36 cm².
5. Tính diện tích toàn phần của hình lập phương:
Diện tích toàn phần ($S_{\text{tp}}$) của hình lập phương là tổng diện tích của tất cả sáu mặt. Mỗi mặt là một hình vuông có diện tích $a^2$.
Công thức tính diện tích toàn phần: $S_{\text{tp}} = 6 \times a^2$ (hoặc $S_{\text{tp}} = 6 \times S_{\text{mặt}}$).
Với $a = 3 \text{ cm}$:
$S_{\text{tp}} = 6 \times 3^2 = 6 \times 9 = 54 \text{ cm}^2$.
Vậy, diện tích toàn phần của hình lập phương là 54 cm².
6. Tính tổng độ dài các cạnh của hình lập phương:
Hình lập phương có 12 cạnh, tất cả các cạnh này đều có độ dài bằng nhau và bằng ‘a’.
Tổng độ dài các cạnh ($L_{\text{tổng cạnh}}$) được tính bằng công thức: $L_{\text{tổng cạnh}} = 12 \times a$.
Với $a = 3 \text{ cm}$:
$L_{\text{tổng cạnh}} = 12 \times 3 = 36 \text{ cm}$.
Vậy, tổng độ dài các cạnh của hình lập phương là 36 cm.
7. Tính độ dài đường chéo của một mặt hình lập phương:
Đường chéo của một mặt ($d_{\text{mặt}}$) là đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện trên một mặt hình vuông của hình lập phương.
Áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác vuông được tạo bởi hai cạnh và đường chéo của mặt đó, công thức tính là: $d_{\text{mặt}} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.
Với $a = 3 \text{ cm}$:
$d_{\text{mặt}} = 3\sqrt{2} \text{ cm}$.
Giá trị xấp xỉ: $d_{\text{mặt}} \approx 3 \times 1.41421356 \approx 4.2426 \text{ cm}$.
Vậy, độ dài đường chéo của một mặt hình lập phương là $3\sqrt{2}$ cm (xấp xỉ 4.2426 cm).
8. Tính độ dài đường chéo của khối lập phương (đường chéo chính):
Đường chéo của khối lập phương ($d_{\text{khối}}$) là đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện nhau và đi qua tâm của hình lập phương.
Áp dụng định lý Pythagoras trong không gian ba chiều (hoặc áp dụng định lý Pythagoras hai lần), công thức tính là: $d_{\text{khối}} = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.
Với $a = 3 \text{ cm}$:
$d_{\text{khối}} = 3\sqrt{3} \text{ cm}$.
Giá trị xấp xỉ: $d_{\text{khối}} \approx 3 \times 1.73205081 \approx 5.1962 \text{ cm}$.
Vậy, độ dài đường chéo của khối lập phương là $3\sqrt{3}$ cm (xấp xỉ 5.1962 cm).
9. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương:
Mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương là mặt cầu đi qua tất cả 8 đỉnh của hình lập phương. Tâm của mặt cầu này trùng với tâm của hình lập phương. Đường kính của mặt cầu ngoại tiếp bằng độ dài đường chéo khối ($d_{\text{khối}}$).
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp (R) được tính bằng công thức: $R = \frac{d_{\text{khối}}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Với $a = 3 \text{ cm}$:
$R = \frac{3\sqrt{3}}{2} \text{ cm}$.
Giá trị xấp xỉ: $R \approx \frac{5.1962}{2} \approx 2.5981 \text{ cm}$.
Vậy, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương là $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ cm (xấp xỉ 2.5981 cm).
10. Tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình lập phương:
Mặt cầu nội tiếp hình lập phương là mặt cầu tiếp xúc với tâm của tất cả 6 mặt của hình lập phương. Tâm của mặt cầu này cũng trùng với tâm của hình lập phương. Đường kính của mặt cầu nội tiếp bằng độ dài cạnh của hình lập phương (‘a’).
Bán kính mặt cầu nội tiếp (r) được tính bằng công thức: $r = \frac{a}{2}$.
Với $a = 3 \text{ cm}$:
$r = \frac{3}{2} = 1.5 \text{ cm}$.
Vậy, bán kính mặt cầu nội tiếp hình lập phương là 1.5 cm.
11. Tính bán kính mặt cầu tiếp xúc với các cạnh của hình lập phương (midsphere/intersphere):
Đây là mặt cầu có tâm trùng với tâm hình lập phương và tiếp xúc với điểm giữa của tất cả 12 cạnh của hình lập phương. Khoảng cách từ tâm hình lập phương đến điểm giữa của một cạnh là bán kính của mặt cầu này ($R_m$).
Để tính $R_m$, ta xét tam giác vuông có đỉnh là tâm hình lập phương, tâm một mặt, và điểm giữa của một cạnh trên mặt đó. Hai cạnh góc vuông của tam giác này lần lượt là $a/2$ (khoảng cách từ tâm khối đến tâm mặt) và $a/2$ (khoảng cách từ tâm mặt đến điểm giữa cạnh).
Công thức tính $R_m$ (theo định lý Pythagoras): $R_m = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{2 \cdot \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Với $a = 3 \text{ cm}$:
$R_m = \frac{3\sqrt{2}}{2} \text{ cm}$.
Giá trị xấp xỉ: $R_m \approx \frac{3 \times 1.41421356}{2} \approx \frac{4.24264068}{2} \approx 2.1213 \text{ cm}$.
Vậy, bán kính mặt cầu tiếp xúc với các cạnh của hình lập phương là $\frac{3\sqrt{2}}{2}$ cm (xấp xỉ 2.1213 cm).
12. Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương:
Thể tích mặt cầu ngoại tiếp ($V_{\text{cs}}$) được tính dựa vào bán kính của nó (R), đã tìm được ở mục 9.
Công thức tính thể tích hình cầu: $V_{\text{cầu}} = \frac{4}{3}\pi (\text{bán kính})^3$.
Áp dụng cho mặt cầu ngoại tiếp với $R = \frac{3\sqrt{3}}{2} \text{ cm}$:
$V_{\text{cs}} = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{27 \cdot 3\sqrt{3}}{8}\right) = \frac{4}{3}\pi \frac{81\sqrt{3}}{8} = \frac{27\sqrt{3}}{2}\pi \text{ cm}^3$.
Giá trị xấp xỉ (sử dụng $\sqrt{3} \approx 1.73205081$ và $\pi \approx 3.14159265$):
$V_{\text{cs}} \approx \frac{27 \times 1.73205081}{2} \times 3.14159265 \approx \frac{46.76537187}{2} \times 3.14159265 \approx 23.3826859 \times 3.14159265 \approx 73.4570 \text{ cm}^3$.
Vậy, thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương là $\frac{27\sqrt{3}}{2}\pi$ cm³ (xấp xỉ 73.4570 cm³).
13. Tính diện tích bề mặt mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương:
Diện tích bề mặt mặt cầu ngoại tiếp ($S_{\text{cs}}$) được tính dựa vào bán kính của nó (R).
Công thức tính diện tích bề mặt hình cầu: $S_{\text{cầu}} = 4\pi (\text{bán kính})^2$.
Áp dụng cho mặt cầu ngoại tiếp với $R = \frac{3\sqrt{3}}{2} \text{ cm}$:
$S_{\text{cs}} = 4\pi R^2 = 4\pi \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 4\pi \left(\frac{9 \cdot 3}{4}\right) = 4\pi \frac{27}{4} = 27\pi \text{ cm}^2$.
Giá trị xấp xỉ (sử dụng $\pi \approx 3.14159265$):
$S_{\text{cs}} \approx 27 \times 3.14159265 \approx 84.8230 \text{ cm}^2$.
Vậy, diện tích bề mặt mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương là $27\pi$ cm² (xấp xỉ 84.8230 cm²).
14. Tính thể tích mặt cầu nội tiếp hình lập phương:
Thể tích mặt cầu nội tiếp ($V_{\text{is}}$) được tính dựa vào bán kính của nó (r), đã tìm được ở mục 10.
Công thức tính thể tích hình cầu: $V_{\text{cầu}} = \frac{4}{3}\pi (\text{bán kính})^3$.
Áp dụng cho mặt cầu nội tiếp với $r = 1.5 \text{ cm} = \frac{3}{2} \text{ cm}$:
$V_{\text{is}} = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{3}{2}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{27}{8} = \frac{9}{2}\pi \text{ cm}^3 = 4.5\pi \text{ cm}^3$.
Giá trị xấp xỉ (sử dụng $\pi \approx 3.14159265$):
$V_{\text{is}} \approx 4.5 \times 3.14159265 \approx 14.1372 \text{ cm}^3$.
Vậy, thể tích mặt cầu nội tiếp hình lập phương là $\frac{9}{2}\pi$ cm³ (hay $4.5\pi$ cm³, xấp xỉ 14.1372 cm³).
15. Tính diện tích bề mặt mặt cầu nội tiếp hình lập phương:
Diện tích bề mặt mặt cầu nội tiếp ($S_{\text{is}}$) được tính dựa vào bán kính của nó (r).
Công thức tính diện tích bề mặt hình cầu: $S_{\text{cầu}} = 4\pi (\text{bán kính})^2$.
Áp dụng cho mặt cầu nội tiếp với $r = 1.5 \text{ cm} = \frac{3}{2} \text{ cm}$:
$S_{\text{is}} = 4\pi r^2 = 4\pi \left(\frac{3}{2}\right)^2 = 4\pi \frac{9}{4} = 9\pi \text{ cm}^2$.
Giá trị xấp xỉ (sử dụng $\pi \approx 3.14159265$):
$S_{\text{is}} \approx 9 \times 3.14159265 \approx 28.2743 \text{ cm}^2$.
Vậy, diện tích bề mặt mặt cầu nội tiếp hình lập phương là $9\pi$ cm² (xấp xỉ 28.2743 cm²).
Kết luận tổng hợp:
Cho hình lập phương có thể tích 27 cm³: Ta có thể tính được
- Độ dài cạnh: 3 cm
- Diện tích một mặt: 9 cm²
- Chu vi một mặt: 12 cm
- Diện tích xung quanh: 36 cm²
- Diện tích toàn phần: 54 cm²
- Tổng độ dài các cạnh: 36 cm
- Đường chéo một mặt: $3\sqrt{2}$ cm (≈ 4.2426 cm)
- Đường chéo khối: $3\sqrt{3}$ cm (≈ 5.1962 cm)
- Bán kính mặt cầu ngoại tiếp: $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ cm (≈ 2.5981 cm)
- Bán kính mặt cầu nội tiếp: 1.5 cm
- Bán kính mặt cầu tiếp xúc với các cạnh: $\frac{3\sqrt{2}}{2}$ cm (≈ 2.1213 cm)
- Thể tích mặt cầu ngoại tiếp: $\frac{27\sqrt{3}}{2}\pi$ cm³ (≈ 73.4570 cm³)
- Diện tích bề mặt mặt cầu ngoại tiếp: $27\pi$ cm² (≈ 84.8230 cm²)
- Thể tích mặt cầu nội tiếp: $\frac{9}{2}\pi$ cm³ (≈ 14.1372 cm³)
- Diện tích bề mặt mặt cầu nội tiếp: $9\pi$ cm² (≈ 28.2743 cm²)
