Cách tính định thức cấp 3?

1. Định thức là gì?

Định thức (determinant) là một giá trị số đặc trưng của một ma trận vuông, giúp xác định nhiều tính chất quan trọng của ma trận đó. Nó được ký hiệu là det(A) hoặc |A| đối với ma trận.

Ý nghĩa của định thức:

• Nếu det(A) ≠ 0, ma trận A khả nghịch (tồn tại ma trận nghịch đảo).
• Nếu det(A) = 0, ma trận A suy biến, tức là không có ma trận nghịch đảo.
• Định thức cũng xuất hiện trong công thức Cramer để giải hệ phương trình tuyến tính.

2. Cách tính định thức cấp 3?

Theo quy tắc Sarrus, định thức của ma trận \( A \) được tính như sau:

\[
\det(A) = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} – (a_{13}a_{22}a_{31} + a_{11}a_{23}a_{32} + a_{12}a_{21}a_{33})
\]

Giải thích:

• Ba tích đầu tiên: Tích các phần tử trên các đường chéo chính mở rộng.
• Ba tích sau (trừ đi): Tích các phần tử trên các đường chéo phụ mở rộng.

Ví dụ minh họa:

Cho ma trận:

\[
A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 1 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}
\]

Áp dụng công thức Sarrus:

\[
\det(A) = (2 \cdot 5 \cdot 9) + (3 \cdot 6 \cdot 7) + (4 \cdot 1 \cdot 8) – [(4 \cdot 5 \cdot 7) + (2 \cdot 6 \cdot 8) + (3 \cdot 1 \cdot 9)]
\]

\[
= (90 + 126 + 32) – (140 + 96 + 27)
\]

\[
= 248 – 263 = -15
\]

Vậy, kết quả là \( \det(A) = -15 \).

3. Các ví dụ khác về cách tính định thức cấp 3?

Ví dụ 1: Tính định thức:

\[ \begin{vmatrix}
0 & 1 & 2 & -m \\
-2 & -1 & 2 & 1 \\
0 & -3 & 4 & 2 \\
0 & -5 & 1 & 1
\end{vmatrix} \]

Giải:

Nhận thấy cột 1 có 3 phần tử bằng 0, ta khai triển theo cột 1:

\[ \begin{vmatrix}
0 & 1 & 2 & -m \\
-2 & -1 & 2 & 1 \\
0 & -3 & 4 & 2 \\
0 & -5 & 1 & 1
\end{vmatrix} = 0 \cdot A_{11} – 2 \cdot A_{21} + 0 \cdot A_{31} + 0 \cdot A_{41} \]

\[ = -2 A_{21} = -2 (-1)^{2+1} \begin{vmatrix}
1 & 2 & -m \\
-3 & 4 & 2 \\
-5 & 1 & 1
\end{vmatrix} \]

\[ = -2 \begin{vmatrix}
1 & 2 & -m \\
-3 & 4 & 2 \\
-5 & 1 & 1
\end{vmatrix} = -34m – 24. \]

Ví dụ 2:

Ví dụ 6: Cho ma trận \( A \) như sau:

\[ A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & -3 & 4 \\
-1 & 3 & 1 & -m \\
-2 & -2 & -2 & -2 \\
-3 & 2 & 1 & 2
\end{pmatrix} \]

Tính tổng các phần bù đại số của các phần tử thuộc dòng 4 của ma trận \( A \).

Giải:

Thay các phần tử ở dòng 4 của ma trận \( A \) bằng \( -2 \), ta được ma trận \( B \):

\[ B = \begin{pmatrix}
1 & 2 & -3 & 4 \\
-1 & 3 & 1 & -m \\
-2 & -2 & -2 & -2 \\
-2 & -2 & -2 & -2
\end{pmatrix} \]

Ma trận \( B \) có định thức bằng 0 vì có hai dòng giống nhau. Do đó, các phần bù đại số của các phần tử dòng 4 trong ma trận \( A \) cũng giống như trong ma trận \( B \).

Ta có:

\[ \det(B) = -2 A_{41} – 2 A_{42} – 2 A_{43} – 2 A_{44} = 0 \]

Suy ra:

\[ A_{41} + A_{42} + A_{43} + A_{44} = 0 \]

Ví dụ 3:

$$
\textbf{} \text{ Tính định thức }
\begin{vmatrix}
x – y – z & 2x & 2x \\
2y & y – z – x & 2y \\
2z & 2z & z – y – x
\end{vmatrix}
$$

**Giải.** Có

$$
\begin{vmatrix}
x – y – z & 2x & 2x \\
2y & y – z – x & 2y \\
2z & 2z & z – y – x
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
x + y + z & x + y + z & x + y + z \\
2y & y – z – x & 2y \\
2z & 2z & z – y – x
\end{vmatrix}
\cdot (d_3 + d_2 + d_1)
$$

$$
= (x + y + z)
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
2y & y – z – x & 2y \\
2z & 2z & z – y – x
\end{vmatrix}
$$

$$
= (x + y + z)
\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 \\
2y & -(x + y + z) & 0 \\
2z & 0 & -(x + y + z)
\end{vmatrix}
$$

$$
= (x + y + z)^3
$$