1. Quadratic formula là gì?
Công thức bậc hai (Quadratic formula) là một công thức được sử dụng để giải phương trình bậc hai có dạng tổng quát:
Phương trình bậc hai(Quadratic formula): \( ax^2 + bx + c = 0 \)
Trong đó:
- a, b, và c là các hệ số, với \( a \neq 0 \).
Công thức bậc hai được biểu diễn như sau:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}
\]
Ý nghĩa:
- Delta (\(\Delta\)): Biểu thức dưới căn \(b^2 – 4ac\) được gọi là discriminant (biệt thức). Nó quyết định số nghiệm của phương trình:
- Nếu \(\Delta > 0\): Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
- Nếu \(\Delta = 0\): Phương trình có một nghiệm kép.
- Nếu \(\Delta < 0\): Phương trình vô nghiệm thực.
- Dấu \(\pm\): Đại diện cho hai giá trị, một lần cộng (+) và một lần trừ (-), cho ra hai nghiệm khác nhau (nếu có).
Ví dụ:
Chúng ta hãy tìm nghiệm của phương trình \( x^2 – 3x – 4 = 0 \) bằng cách sử dụng công thức bậc hai.
Giải:
- a = 1, b = -3 và c = -4.
Công thức bậc hai (Quadratic formula):
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}
\]
Thay các giá trị vào công thức:
\[
x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 – 4(1)(-4)}}{2(1)}
\]
\[
x = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2}
\]
\[
x = \frac{3 \pm 5}{2}
\]
Sau đó ta có hai nghiệm:
\[
x = \frac{3 + 5}{2} \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{3 – 5}{2}
\]
\[
x = \frac{8}{2} \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{-2}{2}
\]
\[
x = 4 \quad \text{hoặc} \quad x = -1
\]
Kết luận: Các nghiệm của phương trình là \( x = 4 \) và \( x = -1 \).
2. Phương pháp giải Quadratic formula?
Một phương trình bậc hai(Quadratic formula) có thể được giải để thu được hai giá trị x hoặc hai nghiệm của phương trình. Có bốn phương pháp khác nhau để tìm nghiệm của phương trình bậc hai. Bốn phương pháp giải phương trình bậc hai(Quadratic formula) như sau.
- Phân tích phương trình bậc hai thành nhân tử
- Sử dụng công thức bậc hai (mà chúng ta đã thấy)
- Phương pháp hoàn thành hình vuông
- Phương pháp đồ thị để tìm căn
3. Các công thức liên quan đến phương trình bậc hai (Quadratic formula?)
Danh sách các công thức quan trọng sau đây rất hữu ích để giải phương trình bậc hai:
- Phương trình bậc hai ở dạng chuẩn của nó là \( ax^2 + bx + c = 0 \).
- Phân thức của phương trình bậc hai là \( D = b^2 – 4ac \).
- Với \( D > 0 \), thì các nghiệm là thực và khác biệt.
- Với \( D = 0 \), thì các nghiệm là thực và bằng nhau.
- Với \( D < 0 \), thì nghiệm thực không tồn tại hoặc nghiệm là nghiệm ảo.
- Công thức tìm nghiệm của phương trình bậc hai là:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}
\] - Tổng các nghiệm của phương trình bậc hai là \( \alpha + \beta = -\frac{b}{a} \).
- Tích của nghiệm phương trình bậc hai là \( \alpha \beta = \frac{c}{a} \).
- Phương trình bậc hai có nghiệm là \( \alpha, \beta \) là:
\[
x^2 – (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0
\] - Điều kiện để các phương trình bậc hai \( a_1x^2 + b_1x + c_1 = 0 \) và \( a_2x^2 + b_2x + c_2 = 0 \) có cùng nghiệm là:
\[
(a_1b_2 – a_2b_1)(b_1c_2 – b_2c_1) = (a_2c_1 – a_1c_2)^2
\] - Khi \( a > 0 \), biểu thức bậc hai \( f(x) = ax^2 + bx + c \) có giá trị nhỏ nhất tại \( x = -\frac{b}{2a} \).
- Khi \( a < 0 \), biểu thức bậc hai \( f(x) = ax^2 + bx + c \) có giá trị lớn nhất tại \( x = -\frac{b}{2a} \).
4. Cách giải Quadratic formula (phương trình bậc hai):
* Giải phương trình bậc hai bằng cách phân tích thành nhân tử?
Đối với dạng tổng quát của phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \), trước tiên chúng ta cần chia số hạng ở giữa thành hai số hạng, sao cho tích của các số hạng bằng với số hạng hằng số. Hơn nữa, chúng ta có thể lấy các số hạng chung từ số hạng có sẵn, để cuối cùng thu được các thừa số cần thiết như sau:
\[
x^2 + (a + b)x + ab = 0
\]
\[
x^2 + ax + bx + ab = 0
\]
\[
x(x + a) + b(x + a)
\]
\[
(x + a)(x + b) = 0
\]
Sau đây là một ví dụ để hiểu quá trình phân tích thừa số.
\[
x^2 + 5x + 6 = 0
\]
\[
x^2 + 2x + 3x + 6 = 0
\]
\[
x(x + 2) + 3(x + 2) = 0
\]
\[
(x + 2)(x + 3) = 0
\]
Do đó, hai nhân tử thu được của phương trình bậc hai là \( (x + 2) \) và \( (x + 3) \). Để tìm nghiệm của nó, chỉ cần đặt mỗi nhân tử bằng 0 và giải cho \( x \):
\[
x + 2 = 0 \quad \text{và} \quad x + 3 = 0
\]
Ta được \( x = -2 \) và \( x = -3 \). Do đó, \( x = -2 \) và \( x = -3 \) là nghiệm của phương trình \( x^2 + 5x + 6 = 0 \).
* Phương pháp hoàn thành bình phương:
Phương pháp hoàn thiện bình phương trong phương trình bậc hai là bình phương đại số và đơn giản hóa, để có được các nghiệm cần thiết của phương trình. Xét phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \), \( a \neq 0 \). Để xác định các nghiệm của phương trình này, chúng ta đơn giản hóa như sau:
\[
ax^2 + bx + c = 0
\]
\[
x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}
\]
\[
x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2
\]
\[
\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2}
\]
\[
\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 – 4ac}{4a^2}
\]
\[
x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}
\]
\[
x = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}
\]
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}
\]
Ở đây, dấu ‘+’ cho một nghiệm và dấu ‘-‘ cho một nghiệm khác của phương trình bậc hai. Nhìn chung, phương pháp chi tiết này bị tránh và chỉ sử dụng công thức bậc hai để có được các nghiệm cần thiết.
* Vẽ đồ thị phương trình bậc hai (Quadratic formula)
Đồ thị của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có thể được biểu diễn bằng cách chuyển phương trình này thành hàm y = ax2 + bx + c.
Tiếp theo, bằng cách giải và thay thế các giá trị cho x, chúng ta có thể thu được các giá trị của y, chúng ta có thể thu được nhiều điểm. Các điểm này có thể được trình bày trên trục tọa độ để thu được đồ thị hình parabol cho phương trình bậc hai.
Vẽ đồ thị phương trình bậc hai:
* Phương trình bậc hai có chung nghiệm:
Xét hai phương trình bậc hai có chung nghiệm:
\[
a_1 x^2 + b_1 x + c_1 = 0, \quad a_2 x^2 + b_2 x + c_2 = 0
\]
Chúng ta hãy giải hai phương trình này để tìm điều kiện mà các phương trình này có chung nghiệm. Hai phương trình được giải cho \(x^2\) và \(x\) tương ứng.
\[
(x^2)(b_1 c_2 – b_2 c_1) = \frac{-x}{a_1 c_2 – a_2 c_1} = \frac{1}{a_1 b_2 – a_2 b_1}
\]
\[
x^2 = \frac{b_1 c_2 – b_2 c_1}{a_1 b_2 – a_2 b_1}
\]
\[
x = \frac{a_2 c_1 – a_1 c_2}{a_1 b_2 – a_2 b_1}
\]
Do đó, bằng cách đơn giản hóa hai biểu thức trên, ta có điều kiện sau cho hai phương trình có chung một nghiệm:
\[
(a_1 b_2 – a_2 b_1) (b_1 c_2 – b_2 c_1) = (a_2 c_1 – a_1 c_2)^2
\]
* Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức bậc hai
Giá trị cực đại và cực tiểu của hàm bậc hai \( F(x) = ax^2 + bx + c \) có thể được quan sát trong đồ thị bên dưới. Đối với các giá trị dương của \( a \) (\( a > 0 \)), biểu thức bậc hai có giá trị cực tiểu tại \( x = \frac{-b}{2a} \), và đối với giá trị âm của \( a \) (\( a < 0 \)), biểu thức bậc hai có giá trị cực đại tại \( x = \frac{-b}{2a} \). \( x = \frac{-b}{2a} \) là tọa độ \( x \) của đỉnh parabol.
Giá trị cực đại và cực tiểu của biểu thức bậc hai giúp ích thêm trong việc tìm tập giá trị của biểu thức bậc hai: Tập giá trị của biểu thức bậc hai cũng phụ thuộc vào giá trị của \( a \). Đối với các giá trị dương của \( a \) (\( a > 0 \)), tập giá trị là \( \left[ F\left( \frac{-b}{2a} \right), \infty \right) \), và đối với các giá trị âm của \( a \) (\( a < 0 \)), tập giá trị là \( (-\infty, F\left( \frac{-b}{2a} \right)] \). Đối với \( a > 0 \), Phạm vi: \( \left[ f\left( \frac{-b}{2a} \right), \infty \right) \)
Đối với \( a < 0 \), Phạm vi: \( (-\infty, f\left( \frac{-b}{2a} \right)] \)
Lưu ý rằng tập xác định của hàm bậc hai là tập hợp tất cả các số thực, tức là \( (-\infty, \infty) \).
5. Mẹo và thủ thuật về Quadratic formula:
Một số mẹo và thủ thuật giải phương trình bậc hai dưới đây sẽ hữu ích để giải phương trình bậc hai dễ dàng hơn.
- Các phương trình bậc hai thường được giải bằng cách phân tích thành thừa số. Nhưng trong những trường hợp không thể giải bằng cách phân tích thành thừa số, công thức bậc hai được sử dụng.
- Các nghiệm của phương trình bậc hai còn được gọi là số không của phương trình.
- Đối với phương trình bậc hai có giá trị phân biệt âm, nghiệm được biểu diễn bằng số phức.
- Tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc hai có thể được sử dụng để tìm các biểu thức đại số cao hơn liên quan đến các nghiệm này.
