Trong hình học phẳng, trực tâm của tam giác là giao điểm của ba đường cao, đóng vai trò quan trọng trong nhiều bài toán liên quan đến tọa độ và hình học không gian.
Việc xác định tọa độ trực tâm không chỉ giúp giải quyết các bài toán hình học một cách chính xác mà còn rèn luyện kỹ năng tư duy logic và tính toán. Vậy làm thế nào để tìm tọa độ trực tâm của một tam giác khi biết tọa độ ba đỉnh? Hãy cùng sieutonghop.com tìm hiểu phương pháp xác định tọa độ trực tâm một cách chi tiết và hiệu quả nhé.
1. Toạ độ trực tâm của tam giác là gì?
Trong hình học, trực tâm của một tam giác là giao điểm của ba đường cao của tam giác. Đường cao là đoạn thẳng kẻ từ một đỉnh của tam giác và vuông góc với cạnh đối diện (hoặc đường kéo dài của cạnh đó).
Khi tam giác được biểu diễn trong hệ tọa độ Oxy với ba đỉnh có tọa độ A(xA, yA), B(xB, yB) và C(xC, yC), ta có thể tìm tọa độ trực tâm bằng cách xác định phương trình hai đường cao rồi tìm giao điểm của chúng.
2. Cách tìm toạ độ trực tâm của tam giác?
Bước 1: Xác định tọa độ các đỉnh tam giác
Giả sử tam giác có ba đỉnh:
- A(xA, yA)
- B(xB, yB)
- C(xC, yC)
Bước 2: Tìm phương trình hai đường cao của tam giác
– Tìm phương trình đường cao từ A đến BC:
- Hệ số góc của đường thẳng BC:\( k_{BC} = \frac{y_C – y_B}{x_C – x_B} \)
- Hệ số góc của đường cao từ A (vuông góc với BC):\( k_A = -\frac{1}{k_{BC}} \)
- Phương trình đường cao qua A(xA, yA):\( y – y_A = k_A (x – x_A) \)
– Tìm phương trình đường cao từ B đến AC:
- Hệ số góc của đường thẳng AC:\( k_{AC} = \frac{y_C – y_A}{x_C – x_A} \)
- Hệ số góc của đường cao từ B (vuông góc với AC):\( k_B = -\frac{1}{k_{AC}} \)
- Phương trình đường cao qua B(xB, yB):\( y – y_B = k_B (x – x_B) \)
Bước 3: Tìm giao điểm của hai đường cao
Giải hệ phương trình hai đường cao tìm được ở bước 2 để xác định giao điểm H(xH, yH), đây chính là tọa độ trực tâm của tam giác.
3. Bài tập ví dụ về cách tìm toạ độ trực tâm của tam giác?
Bài tập 1:
Cho tam giác ABC có tọa độ:
- A(2,3)
- B(6,7)
- C(10,3)
Hãy tìm tọa độ trực tâm của tam giác ABC.
Lời giải
Bước 1: Tìm phương trình đường cao từ A đến BC
- Hệ số góc của BC:
\( k_{BC} = \frac{y_C – y_B}{x_C – x_B} = \frac{3 – 7}{10 – 6} = -1 \)
- Hệ số góc của đường cao từ A (vuông góc với BC):
\( k_A = -\frac{1}{k_{BC}} = 1 \)
- Phương trình đường cao qua A(2,3):
\( y – 3 = 1(x – 2) \Rightarrow y = x + 1 \)
Bước 2: Tìm phương trình đường cao từ B đến AC
- Hệ số góc của AC:
\( k_{AC} = \frac{y_C – y_A}{x_C – x_A} = \frac{3 – 3}{10 – 2} = 0 \)
- Hệ số góc của đường cao từ B (vuông góc với AC):
Đường cao là đường thẳng đứng \( x = 6 \).
Bước 3: Tìm giao điểm hai đường cao
- Giải hệ phương trình:
\( y = x + 1 \)
\( x = 6 \)
- Thay \( x = 6 \) vào phương trình đường cao từ A:
\( y = 6 + 1 = 7 \)
- Vậy tọa độ trực tâm của tam giác là H(6,7).
