Trong thế giới hình học, mỗi đường thẳng đều mang một ý nghĩa và vai trò riêng. Một trong số đó là đường trung trực, một khái niệm cơ bản nhưng vô cùng quan trọng. Vậy, một cách chính xác, đường trung trực được định nghĩa là gì? Nó sở hữu những tính chất nào khiến nó trở nên đặc biệt trong các bài toán hình học? Và liệu chúng ta có thể sử dụng công thức tính nào để xác định hoặc làm việc với đường trung trực này không?
Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn toàn diện về đường trung trực, từ định nghĩa đến các ứng dụng tiềm năng của nó.
1. Đường trung trực là gì?
Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng đó tại trung điểm của nó.
Nói một cách khác, đường trung trực chia đoạn thẳng thành hai phần bằng nhau và tạo với đoạn thẳng một góc 90 độ tại điểm chia đó.
Ví dụ: Cho đoạn thẳng AB và điểm M là trung điểm của AB. Đường thẳng d đi qua M và vuông góc với AB chính là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
2. Tính chất của đường trung trực?
Đường trung trực có hai tính chất quan trọng sau:
– Mọi điểm nằm trên đường trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.
Giải thích: Nếu một điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng , thì khoảng cách từ đến bằng khoảng cách từ đến , tức là .
– Mọi điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.
Giải thích: Nếu một điểm có khoảng cách đến bằng khoảng cách đến (), thì điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng .
3. Công thức tính đường trung trực?
– Dạng 1: Dựa trên trung điểm và vuông góc
\( (x_B – x_A) \cdot (x – \frac{x_A + x_B}{2}) + (y_B – y_A) \cdot (y – \frac{y_A + y_B}{2}) = 0 \)
– Dạng 2: Sau khi rút gọn
\( 2(x_B – x_A)x + 2(y_B – y_A)y – (x_B^2 – x_A^2) – (y_B^2 – y_A^2) = 0 \)
– Dạng 3: Dựa vào tính chất hình học
\( (x – x_A)^2 + (y – y_A)^2 = (x – x_B)^2 + (y – y_B)^2 \)
💡 Giải thích cho Dạng 3: Phương trình:
\( (x – x_A)^2 + (y – y_A)^2 = (x – x_B)^2 + (y – y_B)^2 \)
là cách biểu diễn bằng đại số cho định nghĩa hình học của đường trung trực:
Mọi điểm (x, y) nằm trên đường trung trực thì đều cách đều hai điểm A và B.
- Vế trái là bình phương khoảng cách từ (x, y) đến điểm A.
- Vế phải là bình phương khoảng cách từ (x, y) đến điểm B.
- ⇒ Hai khoảng cách bằng nhau ⇒ điểm (x, y) nằm trên đường trung trực.
4. Bài tập ví dụ về đường trung trực?
Bài tập 1:
Cho đoạn thẳng $AB$ có hai đầu mút là $A(-2, 1)$ và $B(4, 3)$. Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng $AB$.
Lời giải:
1. Tìm tọa độ trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$:
$M\left(\frac{-2 + 4}{2}, \frac{1 + 3}{2}\right) = M\left(\frac{2}{2}, \frac{4}{2}\right) = M(1, 2)$
2. Tìm vectơ chỉ phương của đoạn thẳng $AB$:
$\overrightarrow{AB} = (4 – (-2), 3 – 1) = (6, 2)$
3. Tìm vectơ pháp tuyến của đường trung trực: $\overrightarrow{n} = (-1, 3)$.
4. Viết phương trình đường trung trực:
$-1(x – 1) + 3(y – 2) = 0 \Rightarrow -x + 1 + 3y – 6 = 0 \Rightarrow x – 3y + 5 = 0$
Vậy, phương trình đường trung trực là $x – 3y + 5 = 0$.
Bài tập 2:
Cho tam giác $ABC$ với $A(2, -1)$, $B(0, 3)$, và $C(-2, 1)$. Viết phương trình đường trung trực của cạnh $BC$.
Lời giải:
1. Tìm tọa độ trung điểm $M$ của cạnh $BC$:
$M\left(\frac{0 + (-2)}{2}, \frac{3 + 1}{2}\right) = M(-1, 2)$
2. Tìm vectơ chỉ phương của cạnh $BC$: $\overrightarrow{BC} = (-2, -2) \sim (1, 1)$.
3. Tìm vectơ pháp tuyến của đường trung trực: $\overrightarrow{n} = (1, -1)$.
4. Viết phương trình đường trung trực:
$1(x – (-1)) + (-1)(y – 2) = 0 \Rightarrow x + 1 – y + 2 = 0 \Rightarrow x – y + 3 = 0$
Vậy, phương trình đường trung trực là $x – y + 3 = 0$.
Bài tập 3:
Điểm $P(x, y)$ cách đều hai điểm $A(1, -2)$ và $B(3, 4)$. Viết phương trình biểu diễn tập hợp các điểm $P$.
Lời giải:
Tập hợp các điểm $P$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AB$.
1. Tìm tọa độ trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$:
$M\left(\frac{1 + 3}{2}, \frac{-2 + 4}{2}\right) = M(2, 1)$
2. Tìm vectơ chỉ phương của đoạn thẳng $AB$: $\overrightarrow{AB} = (2, 6) \sim (1, 3)$.
3. Tìm vectơ pháp tuyến của đường trung trực: $\overrightarrow{n} = (-3, 1)$.
4. Viết phương trình đường trung trực:
$-3(x – 2) + 1(y – 1) = 0 \Rightarrow -3x + 6 + y – 1 = 0 \Rightarrow 3x – y – 5 = 0$
Vậy, phương trình biểu diễn tập hợp các điểm $P$ là $3x – y – 5 = 0$.
Bài tập 4:
Cho đoạn thẳng $MN$ với $M(-3, -1)$ và $N(1, 5)$. Tìm một điểm $K$ trên trục hoành sao cho $K$ cách đều $M$ và $N$.
Lời giải:
Điểm $K$ nằm trên trục hoành có tọa độ $(x, 0)$. $K$ cách đều $M$ và $N$ nên $K$ thuộc đường trung trực của $MN$.
1. Phương trình đường trung trực của $MN$ là $-3x + 2y – 7 = 0$ (đã tính ở bài tập trước).
2. Thay $y = 0$ vào phương trình đường trung trực:
$-3x + 2(0) – 7 = 0 \Rightarrow -3x – 7 = 0 \Rightarrow x = -\frac{7}{3}$
Vậy, tọa độ điểm $K$ là $\left(-\frac{7}{3}, 0\right)$.
Bài tập 5:
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Chứng minh rằng trung điểm $M$ của cạnh huyền $BC$ cách đều ba đỉnh $A$, $B$, và $C$.
Lời giải:
Gọi $M$ là trung điểm cạnh huyền $BC$. Ta cần chứng minh $MA = MB = MC$.
Xét đường trung trực của $AB$. Mọi điểm trên đường trung trực cách đều $A$ và $B$.
Xét đường trung trực của $AC$. Mọi điểm trên đường trung trực cách đều $A$ và $C$.
Giao điểm của hai đường trung trực này (tâm đường tròn ngoại tiếp) cách đều $A$, $B$, $C$. Trong tam giác vuông, tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm cạnh huyền $M$.
Do đó, $MA = MB = MC$ (bán kính đường tròn ngoại tiếp).
\text{Hoặc:}
Trong tam giác vuông $ABC$, trung tuyến $AM$ ứng với cạnh huyền $BC$ có độ dài bằng nửa cạnh huyền:
$AM = \frac{1}{2}BC$
Vì $M$ là trung điểm $BC$:
$BM = MC = \frac{1}{2}BC$
Suy ra:
$AM = BM = MC$
