Nhân tử trong toán học là gì?

1. Nhân tử trong toán học là gì?

Phân tích nhân tử là một thuật ngữ toán học dùng để chỉ một cách viết một số nguyên, hay tổng quát là một vật thể toán học, thành một phép nhân của các số nguyên khác, hay tổng quát là các vật thể toán học khác. Các số nguyên, hay vật thể toán học, nằm trong phép nhân gọi là nhân tử.

Việc phân tích đa thức thành nhân tử giúp chúng ta rút gọn được biểu thức, tính nhanh, giải phương trình.

2. Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

A/Phương pháp đặt nhân tử chung

Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức. Khi tất cả các số hạng của đa thức có một thừa số chung, ta đặt thừa số chung đó ra ngoài dấu ngoặc () để làm nhân tử chung.

+ Các số hạng bên trong dấu () có được bằng cách lấy số hạng của đa thức chia cho nhân tử chung.

Chú ý: Nhiều khi để làm xuất hiện nhân tử chung ta cần đổi dấu các hạng tử.

( lưu ý tính chất: A = -(-A)).

* Ví dụ áp dụng

Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

a, 4x² – 6x

b, 9x⁴y³ + 3x²y⁴

Hướng dẫn:

• a) Ta có : 4x² – 6x = 2x.2x – 3.2x = 2x( 2x – 3 ).
• b) Ta có: 9x⁴y³ + 3x²y⁴ = 3x²y³.3x² + 3x²y³y = 3x²y³(3x² + 1)

B/ Phương pháp dùng hằng đẳng thức

+ Dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử.

+ Cần chú ý đến việc vận dụng linh hoạt các hằng đẳng thức để phù hợp với các nhân tử.

Ví dụ áp dụng

Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

a, 9x² – 1

b, x² + 6x + 9.

Hướng dẫn:

a) Ta có: 9x² – 1 = ( 3x )² – 1² = ( 3x – 1 )( 3x + 1 )

(Áp dụng hằng đẳng thức A² – B² = ( A – B )( A + B ) )

b) Ta có: x² + 6x + 9 = x² + 2.x.3 + 3² = ( x + 3 )².

(áp dụng hằng đẳng thức ( A + B )² = A² + 2AB + B² )

3. Bài tập vận dụng phương pháp đặt nhân tử chung

* Bài 40 trang 19 SGK Toán 8 Tập 1: Tính giá trị của biểu thức:

a) 15.91,5 + 150.0,85

b) x(x – 1) – y(1 – x) tại x = 2001 và y = 1999

* Lời giải Bài 40 trang 19 SGK Toán 8 Tập 1: 

a) 15.91,5 + 150.0,85  = 15.91,5 + 15.10.0,85

= 15.91,5 + 15.8,5  = 15(91,5 + 8,5)

= 15.100 = 1500

b) x(x – 1) – y(1 – x) = x(x – 1) – y[–(x – 1)]

= x(x – 1) + y(x – 1) = (x – 1)(x + y)

Tại x = 2001, y = 1999, giá trị biểu thức bằng:

(2001 – 1)(2001 + 1999) = 2000.4000 = 8000000

* Bài 41 trang 19 SGK Toán 8 Tập 1: Tìm x, biết:

a) 5x(x – 2000) – x + 2000 = 0

b) x³– 13x = 0

* Lời giải Bài 41 trang 19 SGK Toán 8 Tập 1: 

a) 5x(x – 2000) – x + 2000 = 0

⇔ 5x(x – 2000) – (x – 2000) = 0

(Có nhân tử chung là x – 2000)

⇔ (x – 2000).(5x – 1) = 0

⇔ x – 2000 = 0 hoặc 5x – 1 = 0

+TH1: x – 2000 = 0 ⇔ x = 2000

+TH2: 5x – 1 = 0 ⇔ 5x = 1 ⇔ x = 1/5.

→ Vậy có hai giá trị của x thỏa mãn là x = 2000 và x = 1/5.

b) x³= 13x ⇔ x³– 13x = 0

⇔ x.x² – x.13 = 0. (Có nhân tử chung x)

⇔ x(x² – 13) = 0

⇔ x = 0 hoặc x² – 13 = 0

Với  x² – 13 = 0 ⇔ x² = 13 ⇔ x = √13 hoặc x = –√13

→ Vậy có 3 giá trị của x thỏa mãn là: x = 0, x = √13 và x = –√13.

* Bài 42 trang 19 SGK Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng 55^{n + 1} – 55ⁿ chia hết cho 54 (với n là số tự nhiên).

* Lời giải Bài 42 trang 19 SGK Toán 8 Tập 1: 

– Ta có : 55^{n + 1} – 55n = 55ⁿ.55 – 55ⁿ

= 55ⁿ(55 – 1) = 55ⁿ.54

– Vì 54 chia hết cho 54 nên 55ⁿ.54 luôn chia hết cho 54 với mọi số tự nhiên n.

→ Vậy 55^{n + 1} – 55ⁿ chia hết cho 54