Trong thế giới hình học đa dạng, hình lăng trụ đứng nổi bật với cấu trúc đặc biệt và tính ứng dụng rộng rãi trong kiến trúc, xây dựng, thiết kế và nhiều lĩnh vực khác.
Bài viết này sieutonghop sẽ cùng các bạn đi sâu vào các công thức và phương pháp tính toán, giúp bạn dễ dàng tính diện tích thể tính của hình lăng trụ đứng này?
1. Hình lăng trụ đứng là gì?
Hình lăng trụ đứng là một hình đa diện lồi có:
- Hai đáy: Là hai đa giác phẳng bằng nhau và song song với nhau.
- Mặt bên: Là các hình chữ nhật, mỗi mặt bên là một hình chữ nhật nối hai cạnh tương ứng của hai đáy. Các mặt bên này vuông góc với mặt phẳng đáy.
- Cạnh bên: Là các đoạn thẳng nối các đỉnh tương ứng của hai đáy. Các cạnh bên song song và bằng nhau, đồng thời vuông góc với mặt phẳng đáy. Độ dài của cạnh bên được gọi là chiều cao của hình lăng trụ đứng.
Ví dụ minh họa:
– Một hộp sữa giấy hình chữ nhật chính là một lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật.
– Một khối tam giác đều dựng đứng cũng là một lăng trụ tam giác đứng.
2. Công thức tính diện tích và thể tích của hình lăng trụ đứng
– Diện tích xung quanh ($S_{xq}$):Diện tích xung quanh là tổng diện tích của tất cả các mặt bên. Mỗi mặt bên là một hình bình hành.
$$S_{xq} = \text{Tổng diện tích các mặt bên}$$
Để tính diện tích mỗi mặt bên (hình bình hành), ta cần biết độ dài cạnh đáy của mặt bên (cũng là cạnh đáy của lăng trụ) và chiều cao tương ứng của hình bình hành đó (khoảng cách vuông góc giữa hai cạnh đáy song song của mặt bên).
– Diện tích toàn phần ($S_{tp}$):Diện tích toàn phần bằng diện tích xung quanh cộng với diện tích của hai mặt đáy.
$$S_{tp} = S_{xq} + 2 \times S_{đáy}$$
Trong đó $S_{đáy}$ là diện tích của một mặt đáy (đa giác). Cách tính diện tích đáy phụ thuộc vào hình dạng cụ thể của đa giác đáy (tam giác, tứ giác, ngũ giác,…).
– Thể tích ($V$):Thể tích của hình lăng trụ bằng diện tích đáy nhân với chiều cao.
$$V = S_{đáy} \times h$$
Lưu ý: Chiều cao $h$ là khoảng cách vuông góc giữa hai mặt đáy.
3. Các Dạng Hình Lăng Trụ Đặc Biệt
Các trường hợp đặc biệt của hình lăng trụ đứng:
– Hình hộp chữ nhật: Là hình lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật.
- Đáy là hình chữ nhật có chiều dài $l$ và chiều rộng $w$.
- Chiều cao của lăng trụ là $h$.
- $S_{đáy} = l \times w$
- $C_{đáy} = 2(l + w)$
- $S_{xq} = 2(l + w) \times h = 2lh + 2wh$
- $S_{tp} = S_{xq} + 2S_{đáy} = 2lh + 2wh + 2lw$
- $V = S_{đáy} \times h = lwh$
– Hình lập phương: Là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằng nhau (đáy là hình vuông và chiều cao bằng cạnh đáy). Gọi độ dài cạnh là $a$.
- Đáy là hình vuông có cạnh $a$.
- Chiều cao của lăng trụ là $a$.
- $S_{đáy} = a^2$
- $C_{đáy} = 4a$
- $S_{xq} = 4a \times a = 4a^2$
- $S_{tp} = S_{xq} + 2S_{đáy} = 4a^2 + 2a^2 = 6a^2$
- $V = S_{đáy} \times h = a^2 \times a = a^3$
– Hình lăng trụ đứng tam giác: Là hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác. Để tính diện tích đáy, bạn cần biết loại tam giác (thường, vuông, đều, cân) và áp dụng công thức phù hợp. Chu vi đáy là tổng độ dài ba cạnh của tam giác.
– Hình lăng trụ đứng đa giác đều: Là hình lăng trụ đứng có đáy là một đa giác đều (tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau). Để tính diện tích đáy, bạn có thể sử dụng công thức dựa trên số cạnh và độ dài cạnh, hoặc bán kính đường tròn nội tiếp/ngoại tiếp. Chu vi đáy bằng số cạnh nhân với độ dài một cạnh.
– Hình Lăng Trụ Xiên: Là Hình lăng trụ xiên là hình lăng trụ có các cạnh bên không vuông góc với mặt đáy. Các mặt bên của hình lăng trụ xiên là các hình bình hành (không phải hình chữ nhật).
- Các mặt bên là hình bình hành.
- Chiều cao của lăng trụ ($h$) là khoảng cách vuông góc giữa hai mặt đáy, không phải là độ dài cạnh bên.
- Độ dài cạnh bên ($l$) khác với chiều cao ($h$).
- Diện tích xung quanh ($S_{xq}$):$$S_{xq} = \text{Tổng diện tích các mặt bên (hình bình hành)}$$Để tính diện tích mỗi mặt bên (hình bình hành), bạn cần biết độ dài cạnh đáy của mặt bên (cũng là cạnh đáy của lăng trụ) và chiều cao tương ứng của hình bình hành đó.
- Diện tích toàn phần ($S_{tp}$):$$S_{tp} = S_{xq} + 2 \times S_{đáy}$$Diện tích đáy ($S_{đáy}$) được tính dựa trên hình dạng của đa giác đáy.
- Thể tích ($V$):$$V = S_{đáy} \times h$$Quan trọng: $h$ vẫn là chiều cao vuông góc giữa hai đáy.
Lưu ý quan trọng:
- Khi tính diện tích đáy ($S_{đáy}$), bạn cần xác định rõ hình dạng của đa giác đáy (tam giác, hình chữ nhật, hình thang, đa giác đều,…) và sử dụng công thức tính diện tích phù hợp cho từng hình.
- Chiều cao ($h$) luôn là khoảng cách vuông góc giữa hai mặt đáy, bất kể lăng trụ đứng hay xiên. Đối với lăng trụ đứng, chiều cao trùng với độ dài cạnh bên, nhưng đối với lăng trụ xiên thì không.
- Để tính diện tích xung quanh của lăng trụ xiên, bạn cần thông tin chi tiết về kích thước của từng mặt bên (độ dài cạnh và chiều cao tương ứng).
4. Cuối cùng:
Việc nắm vững công thức và hiểu rõ các yếu tố cấu thành hình lăng trụ đứng là chìa khóa để tính toán chính xác diện tích và thể tích của hình khối này. Từ diện tích đáy đa dạng đến chiều cao đặc trưng, mỗi thành phần đều đóng vai trò quan trọng trong việc xác định không gian và bề mặt mà lăng trụ đứng chiếm giữ.
Hy vọng rằng, với những kiến thức đã được trình bày, bạn sẽ tự tin và thành công trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến hình lăng trụ đứng trong học tập và ứng dụng thực tế.
