Tin tổng hợp

Số thực là gì? Các dạng số thực, tính chất

February 16, 2025

Trong toán học, số thực đóng vai trò quan trọng trong việc mô tả và tính toán các đại lượng trong đời sống.

Việc hiểu rõ khái niệm số thực, các dạng và tính chất của chúng sẽ giúp chúng ta nắm vững nền tảng toán học và áp dụng hiệu quả trong thực tế.

1. Số thực là gì?

Số thực là tập hợp các số bao gồm cả số hữu tỉ và số vô tỉ. Nói cách khác, số thực bao gồm:

Số tự nhiên (0, 1, 2, 3, …)
Số nguyên (…, -2, -1, 0, 1, 2, …)
Số hữu tỉ (các số có thể biểu diễn dưới dạng phân số a/b với a, b là số nguyên và b ≠ 0, ví dụ: 1/2, -3.75, 0.333…)
Số vô tỉ (các số không thể biểu diễn dưới dạng phân số, ví dụ: π, √2, e)

>> Số hữu tỉ? Số vô tỉ

Tập hợp số thực được ký hiệu là ℝ và có thể được biểu diễn trên trục số thực, bao phủ toàn bộ các giá trị liên tục mà không có khoảng trống.

2. Các dạng số thực?

* Số nguyên (ℤ)

Số nguyên là tập hợp các số không có phần thập phân, gồm:

Số nguyên dương: 1, 2, 3, 4, …
Số nguyên âm: -1, -2, -3, -4, …
Số 0: Trung gian giữa số nguyên dương và số nguyên âm.

* Số hữu tỉ (ℚ)

Số hữu tỉ là những số có thể viết dưới dạng phân số $ \frac{a}{b} $ với $ a, b $ là số nguyên và $ b \neq 0 $. Bao gồm:

Số nguyên (vì có thể viết dưới dạng phân số, ví dụ: $ 5 = \frac{5}{1} $).
Phân số dương và âm (ví dụ: $ \frac{2}{3}, -\frac{5}{7} $).
Số thập phân hữu hạn (ví dụ: 0.75, -2.5, vì có thể viết thành phân số $ \frac{3}{4}, \frac{-5}{2} $).
Số thập phân vô hạn tuần hoàn (ví dụ: 0.6666… = $ \frac{2}{3} $, 1.272727… = $ \frac{14}{11} $).

* Số vô tỉ (𝕀):

Số vô tỉ là những số không thể biểu diễn dưới dạng phân số và có phần thập phân vô hạn không tuần hoàn, gồm:

Số căn không chính phương (ví dụ: $ \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5} $ vì phần thập phân vô hạn, không lặp lại).
Số pi (π) và hằng số toán học khác (ví dụ: $ \pi \approx 3.141592… $, $ e \approx 2.718281… $).
Số Fibonacci vô tỉ (ví dụ: tỷ lệ vàng $ \varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} $).

* Số thập phân:

Là cách biểu diễn số thực, bao gồm:

Số thập phân hữu hạn (ví dụ: 2.5, -3.75).
Số thập phân vô hạn tuần hoàn (số hữu tỉ, ví dụ: 0.6666… = $ \frac{2}{3} $).
Số thập phân vô hạn không tuần hoàn (số vô tỉ, ví dụ: $ \pi = 3.141592… $).

* Số thực (ℝ):

Là tập hợp bao gồm tất cả các số trên: số nguyên, số hữu tỉ, số vô tỉ. Trên trục số, số thực có thể biểu diễn bằng một điểm bất kỳ.

Tóm lại, số thực gồm hai nhóm chính:

Số hữu tỉ: Số có thể biểu diễn dưới dạng phân số (số nguyên, phân số, số thập phân hữu hạn, số thập phân vô hạn tuần hoàn).
Số vô tỉ: Số không thể viết dưới dạng phân số (căn số vô tỉ, $ \pi $, $ e $, …).

3. Tính chất số thực?

Những tính chất của số thực bao gồm:

* Tính chất đại số:

– Tính đóng: Tập số thực đóng đối với phép cộng, phép trừ, phép nhân và phép chia (trừ chia cho 0).

* Tính giao hoán:

Cộng: a + b = b + a
Nhân: a × b = b × a

* Tính kết hợp:

Cộng: (a + b) + c = a + (b + c)
Nhân: (a × b) × c = a × (b × c)

* Tính phân phối:

a × (b + c) = a × b + a × c

– Tồn tại phần tử trung tính:

Phép cộng: a + 0 = a
Phép nhân: a × 1 = a

– Tồn tại phần tử đối:

Mọi số thực a đều có phần tử đối -a sao cho a + (-a) = 0.
Mọi số thực a ≠ 0 đều có phần tử nghịch đảo 1/a sao cho a × (1/a) = 1.

* Tính chất sắp thứ tự:

– Tính chất bắc cầu: Nếu a > b và b > c, thì a > c.

– Tính chất so sánh: Mọi số thực a, b thỏa mãn đúng một trong ba điều kiện: a > b, a = b, hoặc a < b.

– Tính chất bảo toàn bất đẳng thức:

Nếu a > b, thì a + c > b + c.
Nếu a > b và c > 0, thì a × c > b × c.
Nếu a > b và c < 0, thì a × c < b × c.

* Tính chất liên tục:

Không có khoảng trống: Bất kỳ số nào trên trục số đều là một số thực.
Bất kỳ dãy số thực nào có giới hạn thì giới hạn đó cũng là một số thực.

* Tính chất hình học:

Số thực có thể biểu diễn trên trục số thực.
Khoảng cách giữa hai số thực có thể đo lường được: d(a, b) = |a - b|.
Tồn tại cận trên và cận dưới: Mọi tập con không rỗng của ℝ bị chặn trên đều có cận trên nhỏ nhất.

* Tính chất của số thực đặc biệt:

Tập số hữu tỉ (ℚ) là tập con của số thực, nhưng không phải tất cả số thực đều là số hữu tỉ.
Tập số vô tỉ (ℚ') nằm xen kẽ giữa các số hữu tỉ trên trục số thực.

4. Bài tập ví dụ về số thực?

Bài tập 1: Phân loại số thực

Cho các số sau:

$\frac{3}{4}, \quad \sqrt{5}, \quad -2.5, \quad \pi, \quad 0, \quad 1.414, \quad -\frac{7}{3}$

Hãy phân loại các số trên vào các nhóm sau:

Số nguyên
Số hữu tỉ
Số vô tỉ

Bài tập 2: Thực hiện phép toán trên số thực

Thực hiện các phép toán sau và rút gọn nếu có thể:

$3.5 + (-2.1)$
$\frac{5}{6} – \frac{2}{9}$
$\sqrt{16} \times 0.25$
$\frac{4}{3} \div \frac{2}{5}$

Bài tập 3: Tìm số thực thỏa mãn điều kiện

Tìm số thực $ x $ thỏa mãn các điều kiện sau:

$2x + 3 = 7$
$x^2 = 9$
$|x – 5| = 2$
$x^3 – 4x = 0$

Bài tập 4: So sánh số thực

Sắp xếp các số thực sau theo thứ tự tăng dần:

$\sqrt{2}, \quad -3.5, \quad \frac{7}{4}, \quad 0.75, \quad -\sqrt{5}, \quad 1.5$

Lời giải:

* Bài tập số 1: Phân loại số thực

Cho các số:

$\frac{3}{4}, \quad \sqrt{5}, \quad -2.5, \quad \pi, \quad 0, \quad 1.414, \quad -\frac{7}{3}$

Số nguyên: $ 0 $
Số hữu tỉ: $ \frac{3}{4}, \quad -2.5 = \frac{-5}{2}, \quad 0, \quad 1.414 \approx \frac{707}{500}, \quad -\frac{7}{3} $
Số vô tỉ: $ \sqrt{5}, \quad \pi $

* Bài tập 2: Thực hiện phép toán trên số thực

$ 3.5 + (-2.1) = 3.5 – 2.1 = 1.4 $
$ \frac{5}{6} – \frac{2}{9} = \frac{15}{18} – \frac{4}{18} = \frac{11}{18} $
$ \sqrt{16} \times 0.25 = 4 \times 0.25 = 1 $
$ \frac{4}{3} \div \frac{2}{5} = \frac{4}{3} \times \frac{5}{2} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3} $

* Bài tập 3: Tìm số thực thỏa mãn điều kiện

$ 2x + 3 = 7 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2 $
$ x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm \sqrt{9} = \pm 3 $
$ |x – 5| = 2 \Rightarrow x – 5 = 2 $ hoặc $ x – 5 = -2 $ → $ x = 7 $ hoặc $ x = 3 $.
$ x^3 – 4x = 0 \Rightarrow x(x^2 – 4) = 0 \Rightarrow x(x – 2)(x + 2) = 0 \Rightarrow x = 0, 2, -2 $.

* Bài tập 4: So sánh số thực

Các số đã cho:

$\sqrt{2} \approx 1.414, \quad -3.5, \quad \frac{7}{4} = 1.75, \quad 0.75, \quad -\sqrt{5} \approx -2.236, \quad 1.5$

Sắp xếp theo thứ tự tăng dần:

$-3.5$
$-\sqrt{5} \approx -2.236$
$0.75$
$\sqrt{2} \approx 1.414$
$1.5$
$\frac{7}{4} = 1.75$

5. Câu hỏi thường gặp:

Câu hỏi 1: Theo kinh nghiệm của bạn thì có cách nào để dễ hiểu hơn về số thực không?

Theo kinh nghiệm của mình để dễ hiểu hơn thì Số thực là tất cả các số có thể được biểu diễn trên trục số.

Điều này có nghĩa là bất kỳ số nào bạn có thể nghĩ đến – từ số nguyên như -3, 0, 5, đến số thập phân như 2.5, -0.75, hay các số đặc biệt như π (3.141592…) hoặc √2 – đều là số thực.

Nếu bạn có thể đặt nó ở một vị trí nào đó trên thước đo số, thì nó là một số thực! 🚀

Câu hỏi 2: Làm thế nào để so sánh hai số thực?

Để so sánh hai số thực, bạn có thể biểu diễn chúng trên trục số. Số nào nằm bên phải trên trục số thì lớn hơn số nằm bên trái. Ngoài ra, nếu hai số ở dạng phân số hoặc số thập phân, có thể quy đồng hoặc so sánh trực tiếp giá trị số thập phân.

Câu hỏi 3: Có thể thực hiện tất cả phép toán trên số thực không?

Hầu hết các phép toán như cộng, trừ, nhân, chia đều có thể thực hiện trên số thực. Tuy nhiên, có một số ngoại lệ, chẳng hạn không thể tính căn bậc chẵn của một số âm trong tập hợp số thực (ví dụ: √ $-4$ không phải là số thực).

Câu hỏi 4: Số thực có giới hạn không?

Không, tập hợp số thực là vô hạn. Nghĩa là luôn tồn tại một số thực giữa hai số thực bất kỳ, và chúng có thể kéo dài vô tận theo cả hai hướng trên trục số.

Câu hỏi 5: Tập hợp số thực có phải là tập hợp vô hạn không?

Đúng, tập hợp số thực là vô hạn theo cả nghĩa đếm được và không đếm được. Tập hợp số hữu tỉ là vô hạn đếm được, còn tập hợp số vô tỉ là vô hạn không đếm được.

Câu hỏi 6: Số thực có sử dụng trong máy tính không?

Có, nhưng trong máy tính, số thực được biểu diễn dưới dạng số dấu phẩy động (floating-point numbers), có giới hạn về độ chính xác do bộ nhớ và cấu trúc dữ liệu. Một số giá trị vô tỉ như π hoặc √2 chỉ có thể được biểu diễn gần đúng.